最大公约数怎么表示

最大公约数（greatest

common

divisor，简写为gcd；或highest

common

factor，简写为hcf)，指某几个整数共有因子中最大的一个。能够整除一个整数的整数称为其的约数（如5是10约数）；

能够被一个整数整除的整数称为其的倍数（如10是5的倍数）；

如果一个数既是数A的约数，又是数B的约数，称为A,B的公约数，A,B的公约数

中最大的一个（可以包括AB自身）称为AB的最大公约数

定义

如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

例：

在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数。

早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f（x,

y）表示x，y的最大公约数，取k

=

x/y，b

=

x%y，则x

=

ky

+

b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f（x,

y）=

f（y,

x%y）（y

>

0），如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。

例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。

辗转相除法是古希腊求两个正整数的最大公约数的，也叫欧几里德算法，其方法是用较大的数除以较小的数，上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到出现能够整除的两个数，其中较小的数（即除数）就是最大公约数。以求288和123的最大公约数为例，操作如下：288÷123=2余42

123÷42=2余39

42÷39=1余3

39÷3=13

所以3就是288和123的最大公约数。

性质

重要性质：gcd(a,b)=gcd(b,a)

（交换律）

gcd(-a,b)=gcd(a,b)

gcd(a,a)=|a|

gcd(a,0)=|a|

gcd(a,1)=1

gcd(a,b)=gcd(b,

a

mod

b)

gcd(a,b)=gcd(b,

a-b)

如果有附加的一个自然数m,

则:

gcd(ma,mb)=m

*

gcd(a,b)

(分配律)

gcd(a+mb

,b)=gcd(a,b)

如果m是a和b的最大公约数，

则：

gcd(a/m

,b/m)=gcd(a,b)/m

在乘法函数中有：

gcd(ab,m)=gcd(a,m)

*

gcd(b,m)

两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：

*

两数各分解质因数，然后取出同样有的质因数乘起来

*辗转相除法（扩展版）

和最小公倍数（lcm）的关系：

gcd(a,

b)

*

lcm(a,

b)

=

ab

a与b有最大公约数，

两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。

两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律：

*

gcd(a,

lcm(b,

c))

=

lcm(gcd(a,

b),

gcd(a,

c))

*

lcm(a,

gcd(b,

c))

=

gcd(lcm(a,

b),

lcm(a,

c))

在坐标里，将点(0,

0)和(a,

b)连起来，通过整数坐标的点的数目（除了(0,

0)一点之外）就是gcd(a,

b)。