二阶微分方程通解和特解公式

当为多项式的时候可以根据公式直接来设出特解而且这个是有固定的公式，然后根据取值把特解求出来再加上通解就可以了。

一、常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx

特解 y=C(x)e^mx

2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx

特解 y=msinx+nsinx

3、Ay''+By'+Cy= mx+n

特解 y=ax

二、通解

1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)

3、一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

扩展资料；

在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。

y''=f(x)型，方程特点：右端仅含有自变量x，逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。

二阶微分方程的通解特解假设可根据实际的情况设为y=C(x)e^mx，或 y=msinx+nsinx、 y=ax，这是属于比较常见且常用的三个。对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，我们就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0

举一个简单的例子： y''+3y'+2y = 1 (1) 其对应的齐次方程的特征方程为： s^2+3s+2=0 (2) 因式分解： (s+1)(s+2)=0 (3) 两个根为： s1=-1 s2=-2 (4) 齐次方程的通解： y1=ae^(-x)+be^(-2x) (5) 非奇方程(1)的特解： y* = 1/

2 (6) 于是（1）的通解为： y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x) (7) 其中：a、b由初始条件确定。