余弦定理速记口诀

“余”指的是两角和差的余弦，“同”指的是同组相同者，也即形式相同者，“异”指的是等式两边的符号相反。

两角和差的正弦余弦公式的口诀：正异同，余同异

二角和差公式:

口诀（正余弦两角和差公式）：

赛壳壳赛符号同，壳壳赛赛符号异。

1）正弦和差前后同号，余弦和差前后异号

2）正弦和差公式始终是sin与cos相乘; 余弦和差公式始终是cos与cos相乘，sin与sin相乘

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　1、三角函数两角差公式:

　　sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　2、倍角公式：

　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

　　cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

　　tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

　　3、半角公式：

　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

　　4、根据两角和差公式，常见的角度制下的角可以表示为：sin（90°+α）=cosα；cos（90°+α）=－sinα；tan（90°+α）=－cotα；sin（90°－α）=cosα；cos（90°－α）=sinα；tan（90°－α）=cotα.

　　三角函数两角和差公式记忆口诀

　　正弦异名加一起，余弦同名加减异，正切就是正比余。正弦公式符号同，余弦公式正变负。

首先，正弦和余弦要成对记。

也就是说在记忆公式时，正弦和余弦归为一组来记忆，使用时也是一样。

其次，同一个角在同一组中不能同时出现。

也就是说如果一个角出现了正弦，就不能同时再出现该角余弦。如果要出现余弦，也只能是另一个角的同组中的另一个。

再次，要注意公式两端符号的关系。

也就是要注意公式两端的符号是否相同，如果相同我们就用“同”来表示，如果不同就用“异”来表示。

三角函数两角和差公式涉及到正弦、余弦、正切、余切等，由于在高中阶段使用最多的是正弦和余弦，并且正弦和余弦的两角和差公式在整个三角函数公式体系中有很重要的地位，所以接下来我们就重点介绍正弦和余弦的两角和差公式的记忆。

sin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

通过观察等式两边的符号是相同的，也就是说左边是两角“和”的话，右边就是两项的和；左边如果是两角的“差”，右边就是两项的差。

另外，两角和差公式，如果是正弦的话，展开式中每项都是同组相异者，也就是说在正弦和余弦的组里，其中一个为正弦的话，另一个一定为余弦，反之亦然。

同时正弦的两角和差公式中，每个角都出现正弦和余弦各一次，并且是与另一角同组中相异的组成一项进行的。

比如如果一个是sinα,那么与其组成同一项的一定是cosβ，为什么是它呢？

因为一个是sinα，同一组中不能再出现同一个角，所以另一个只能是另一个角β，另外根据同组相异 判断，另一个角只能是余弦形式（因为α已经是正弦形式）。

这样就有了记忆正弦两角和差公式的口诀：正异同。

“正”指的是正弦；“异”指的是同组相异者；“同”指的是等式两边的符号相同。

下面我们来观察余弦的两角和差公式，然后通过规律总结出记忆口诀。

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

首先，等式两端符号相异。

等式左边与等式右边的符号是相反的，一为“+”，一为“-”，或者一为“-”，一为“+”。这就表明符号相异。这样只要知道等式左边的符号，我们就可以根据符号异而直接写出右边的符号。

其次，同组同。

在正弦两角和差公式中，是同组异；而余弦的两角和差公式则是同组同。

什么意思呢？

就是两个角组成的每一项中都是同组中相同的形式，而不是相异的形式。

比如，如果一个角是正弦，则组成同一项的另一个角也是正弦；如果一个角是余弦，则另一个角也是余弦。

也就是说如果一个是cosα,则组成同一项的另外一个一定是cosβ；同理，如果一个是sinβ,则同项的另一个一定是sinα.

这样就有了记忆余弦两角和差公式的口诀：余同异。

“余”指的是两角和差的余弦，“同”指的是同组相同者，也即形式相同者，“异”指的是等式两边的符号相反。

至此两角和差的正弦余弦公式的口诀就全出来了：正异同，余同异。

掌握了这个口诀，我们就可以直接写出两角正弦或余弦的两角和差的公式了，自然也就可以具体运用了。

假如要写出sin(θ+γ)的公式展开式，我们如何用口诀写出来呢？

首先，我们观察知道这是两角和差的正弦公式，适用口诀“正异同”。

其次，根据“正异同”写出公式展开式。

由于“异”指的是同组相异，这里两个角是γ和θ，所以按组归类来说就有这两个角中每个角的正弦和余弦，也就是sinγ、cosγ和sinθ、cosθ。由于同一项中不同同角出现且是组异者，所以只有sinθ与cosγ和cosθ与sinγ两种方式组合同项。然后根据等式两边符合相同，可以直接写出sin(θ+γ)公式展开式。

sin(θ+γ)=sinθcosγ+cosθsinγ。

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍