行列式的性质怎么证明

行列式的性质证明通常涉及一些基本的数学原理和公式。这里，我将以两个基本的行列式性质为例，说明如何进行证明：

性质1：行列式与它的转置行列式相等

定义：行列式的转置是把行列式的每一行作为相应的列，构成一个新的行列式。

证明：性质1说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。实际上，如果把行列式的每一列换成是相应的行，按照原有顺序排列成的行列式也可以得到原行列式的转置形式。从排列组合的角度看，行列式的组合是有限的，转置前后组合种类完全相同。逆序数与行列的逆序都有关，在转置过程中，行变成列、列变成行，对于逆序数实际上是不变的。因此，行列式转置后，其展开式不变。

性质2：行列式某一行（或列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边来

证明：这一性质说明，用一个数去乘一个行列式，相当于用这个数去乘这个行列式的某一行（或某一列）。这是因为，当我们提取某一行（或列）的公因子时，实际上是把这一行（或列）的每一个元素都乘以这个公因子。由于行列式的定义是不同行不同列元素的乘积之和，提取公因子后，每一项都乘以了相同的数，因此这个数可以提到行列式符号的外边来。

这些性质的证明主要依赖于行列式的定义和基本的数学原理。其他的行列式性质也可以通过类似的方法进行证明。