离散型随机变量分布律

以下是我的回答，离散型随机变量分布律是一种描述离散型随机变量概率分布特性的方式。这些特性包括出现各种可能值的概率，以及在这些值之间变化的规律。
例如，假设有一个离散型随机变量X，其可能的取值是-1，0，1，2，3。那么X的分布律可以这样描述：P(X=-1)=0.2，P(X=0)=0.3，P(X=1)=0.1，P(X=2)=0.2，P(X=3)=0.2。这个分布律告诉我们，变量X等于-1、0、1、2、3的概率分别是0.2、0.3、0.1、0.2、0.2。
如果需要更深入的讨论或有其他问题，请随时提问。

1. 随机变量

设随机试验的样本空间为. 是定义在样本空间上的实值单值函数。称为「随机变量」

2. 离散型随机变量

定义： 全部可能取到的值为有限个或可列无限多个，这种随机变量称为「离散型随机变量」

骰子的点数，打靶环数，某城市120急救电话一昼夜收到的呼叫次数，都是离散型随机变量

设离散型随机变量所有可能取的值为 ，取各个可能值的概率，即事件 的概率，为

我们称该式为离散型随机变量的分布律

性质：

「」

稍后介绍常见分布的时候， 这个的证明很简单，不在赘述，我会给出 的必要性证明。

3. 离散型随机变量常见分布

3.1 分布

设随机变量可能的取值只有和，它的分布律为 「」 ,记做服从以为参数的「分布」或两点分布

X 0 1

P 1-p p

新生儿性别，抛硬币，产品质量是否合格 等可以用分布的离散型随机变量来表示

3.2 二项分布

设试验只有两种可能结果：及 ,则称为「伯努利试验」 。 设 .

将 独立重复地进行次， 则称这一连串独立的重复试验为「重伯努利试验」

例如，抛硬币，表示正面，这就是伯努利试验，将硬币抛次，就是重伯努利试验。 掷骰子，表示等到点， 表示得到的是非点，也叫一次伯努利试验等

以表示重伯努利试验中，事件发生的次数，表示事件发生的概率， 表示不发生的概率(即发生的概率) ，则有

必要性证明 ：

二项式

我们发现 刚好是 展开式中出现的那一项，因此，我们称随机变量服从以为参数的「二项分布」，记做

3.3 泊松分布

设随机变量的可能取值为 而各个取值的概率为 其中 为常数，则称服从以为参数的「泊松分布」，记做

必要性证明 ：

其中 证明如下，需要用到泰勒公式泰勒公式

如果函数在的某个邻域内具有(n+1)阶导数，那么对任一 有

即 当 时，有

此时有

一本书一页中的印刷错误数，某医院在一天内的急诊病人数，某一个地区一个时间间隔内发生交通事故的次数等均服从泊松分布

「泊松定理」 设是一个常数，是任意正整数，设 ,则对于任一固定的非负整数，有

证明如下 ：

该定理说明，当很大，很小时，二项分布可用泊松分布近似 即

一般地，当 时，即可用泊松分布来近似计算二项分布

3.4 几何分布

在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为，试验进行到事件出现时停止，此时所进行的试验次数为，其分布率为 , 则称服从为参数的几何分布，记作

必要性证明：

几何分布用来描述次伯努利试验中，事件首次发生的概率

3.5 超几何分布

在产品质量的「不放回」抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数，此时有

称服从以 为参数的超几何分布，记做

必要性证明 :

范德蒙恒等式：

证明比较简单，用二项展开式即可：

关于 范德蒙恒等式的证明方式有很多，感兴趣的可以查看相关资料

当时，超几何分布可用二项分布近似计算，此时有

证明如下：

首先我们要明确要证明的等式是 当时 ，即 .