如何证明向量在坐标轴上的投影

向量在坐标轴上的投影可以通过向量的点积来计算。设向量为v，坐标轴为u，则向量在坐标轴上的投影为v在u方向上的分量，即v与u的点积除以u的长度，即v·u/|u|。这个值可以用向量的长度和角度来表示，具体方法是将向量表示为坐标形式，然后计算其在坐标轴上的分量。

可以通过将向量的坐标投影到坐标轴上来计算其在坐标轴上的投影，这个投影就是向量在坐标轴上的分量。

要证明一个向量在坐标轴上的投影，可以通过求解两个向量之间的内积来实现。
设有一个向量$\mathbf{v}$和一个单位向量$\mathbf{u}$，其中$\mathbf{u}$定义为坐标轴的方向向量。我们想要找到$\mathbf{v}$在坐标轴上的投影向量$\mathbf{p}$。
首先，通过将$\mathbf{v}$投影到$\mathbf{u}$的方向上，可以得到一个与$\mathbf{u}$方向相同的向量$\mathbf{v}_{\text{proj}}$。这可以通过如下公式计算得到：
$$\mathbf{v}_{\text{proj}} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u}$$
其次，要得到$\mathbf{v}$在坐标轴上的投影向量$\mathbf{p}$，我们需要将$\mathbf{v}_{\text{proj}}$与$\mathbf{u}$的方向相反。通过将$\mathbf{v}_{\text{proj}}$乘以$-1$，我们可以得到$\mathbf{p}$：
$$\mathbf{p} = -\mathbf{v}_{\text{proj}} = -(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u}$$
因此，$\mathbf{p}$就是$\mathbf{v}$在坐标轴上的投影向量。

空间向量在坐标轴上的投影求法：一个向量在另一个向量上的投影既不是向量也不是长度，而是一个实数，其绝对值是长度。公式是a在b上的投影=a*b/|b|。空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0。模为1的向量称为单位向量。与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。