柯西不等式常用公式

柯西不等式公式四个：(a²＋b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²；√(a²＋b²)＋√(c²＋d²)≥√[(a－c)²＋(b－d)²]；|α||β|≥|α·β|；(∑ai²)(∑bi²)≥(∑ai·bi)²。

柯西不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式。因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。

二维形式的柯西不等式公式：(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)

柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,...,bn)(n∈N,n≥2)

　　等号成立条件：β为零向量,或α=λβ(λ∈R).

楼主是否会联想到其他形式呢?由类比推理思想可得：((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2

二维形式的证明

　　(a+b)(c+d)　(a,b,c,d∈R)

　　=a·c +b·d+a·d+b·c

　　=a·c +2abcd+b·d+a·d－2abcd+b·c

　　=(ac+bd)+(ad－bc)

　　≥(ac+bd),等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立.

最常用的应该就是二维形式，我在学习的时候用的就是这个，其他的都不怎么用。

（a的平方+b的平方）乘（c的平方+d的平方的）大于等于（ac+bd）的平方

当前仅当ac=bd时成立