条件数学期望的性质证明过程

首先，我们证明一个简单的性质：对于任何随机变量X和常数c，E(cX)=cE(X)。
根据数学期望的定义，E(X)是所有可能结果x乘以它们发生的概率之和。同样地，E(cX)也是所有可能结果cx乘以它们发生的概率之和。但是，由于c是一个常数，所以cX的所有可能结果就是X的所有可能结果乘以c。因此，E(cX)就是E(X)乘以c。
接下来，我们证明一个稍微复杂的性质：对于任何两个随机变量X和Y，E(X+Y)=E(X)+E(Y)。
根据数学期望的定义，E(X)是所有可能结果x乘以它们发生的概率之和，E(Y)是所有可能结果y乘以它们发生的概率之和。对于X+Y，它的所有可能结果是x+y，乘以它们发生的概率。因此，E(X+Y)就是E(X)加上E(Y)。
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条件数学期望是在给定某一条件下的随机变量的期望，它的性质可以通过条件概率的定义和期望的性质来证明。

首先，我们可以利用条件概率的定义来计算条件数学期望，然后利用期望的线性性质和非负性质来证明条件数学期望也满足这些性质。

具体而言，我们可以用条件概率的链式法则和随机变量的定义来推导出条件数学期望的性质，从而得到结论。

数学期望的性质：

1、设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）。

2、设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）。

3、设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。

4、设C为常数，则E（C）=C。 扩展资料： 数学期望的历史故事 在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛。

用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。

因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。 可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的100*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×25%=25(法郎)。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。