蘑菇头罓 4星
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柯西收敛准则没有六种形式,只有一种形式,柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理,给出了收敛的充分必要条件。
柯西极限存在准则,又称柯西收敛准则,是用来判断某个式子是否收敛的充要条件(不限于数列),主要应用在以下方面:数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则,因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。
充分性
由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一,所以用实数公理——戴德金定理证明{xn}收敛。
首先证明柯西序列是有界的。根据柯西序列的定义,对任意ε>0,存在正整数N,当m,n>N时,有|xn-xm|<ε。
于是取m=N+1,则当n>N时,|xn-xN+1|<ε。
解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε,即当n>N时,{xn}既有上界又有下界,所以是有界的
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