空间几何射影定理方法

方法1：相似三角形法

设三角形ABC内一点D在边BC上，连接AD并延长到E点使其与AC重合。则根据相似三角形的性质，可得：

∵ ∠ADE = ∠ABC

∴ ∠AED = ∠ACB

又因为∠ADE与∠AED之和为180度，因此三角形ADE和三角形ABC相似，得到以下比例：AD / AB = AE / AC

即AD = AB × AE / AC

又因为三角形ADE和三角形BDE相似，因此可得以下比例：DE / BD = AE / AB

即BD = AB × DE / AE

将上述两个式子相加得：

AD + BD = AB × (AE / AC + DE / AE)

∴ AD + BD = AB × (AE^2 + DE^2) / AC × AE

∴ AD + BD = AB × EC / AC

因此，得证射影定理成立。

方法2：面积法

利用三角形面积之比的性质，可证明射影定理。

设三角形ABC内一点D在边BC上，连接AD并延长到E点使其与AC重合。则有以下结论：△ABD与△ACD的面积之比等于BD与DC的长度之比，即S(△ABD) / S(△ACD) = BD / DC

△ADE与△ABC的面积之比等于DE与EC的长度之比，即S(△ADE) / S(△ABC) = DE / EC

又因为△ABD与△ADE的面积之和等于△ABC的面积，即S(△ABD) + S(△ADE) = S(△ABC)

将上述三个式子代入可得：S(△ABD) / S(△ACD) + S(△ADE) / S(△ABC) = BD / DC + DE / EC

∴ S(△ABD) + S(△ADE) = S(△ABC) × (BD / DC + DE / EC)

∴ S(△ADE) = S(△ABC) × DE / EC

因此，得证射影定理成立。

方法3：相似四边形法设三角形ABC内一点D在边BC上，连接AD并延长到E点使其与AC重合。设F为AE与BD的交点，则四边形ABFD是一个平行四边形。

根据相似四边形的性质，可得到以下比例：AE / AC = BD / BC

AF / AB = DE / AC

因此，可得到以下关系：AE × AF / AB = AC × DE / BC

即S(ABF) = S(ABC) × DE / BC因为ABFD是一个平行四边形，所以S(ABF) = S(ADF)，

因此可得：S(ADF) = S(ABC) × DE / BC又因为ADF和ACD是相似三角形，因此可得：AD / AC = DF / CD即AD = AC × DF / CD将上述式子代入可得：S(ADF) = S(ABC) × DE / BC = S(ABC) × DF / CD因此，得证射影定理成立。

在立体几何教学中,笔者发现一个重要的定理——射影定理.应用这个定理求两异面直线所成的角和距离非常方便(并且只要进行适当地变形,还可以用来计算直线与平面,平面与平面所成的角和距离).因此,可以毫不夸张地说,射影定理是立体几何中角和距离计

射影就是正投影,从一点到过顶点垂直于底边的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这直线上的正投影,即射影定理.