柯西不等式通俗易懂

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柯西不等式可以简单地记做：平方和的积 ≥ 积的和的平方.它是对两列数不等式.取等号的条件是两列数对应成比例.

如：两列数

0,1

和

2,3

有

(0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.

形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数,这个辅助函数是二次函数,于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式.

还有一种形式比较麻烦的,但确实很容易想到的证法,就是完全把Cauchy不等式右边-左边的式子展开,化成一组平方和的形式.

这里只给出前一种证法.

Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi,则有

(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.

我们令

f(x) = ∑(ai + x * bi)^2

= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)

则我们知道恒有

f(x) ≥ 0.

用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有

Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.

于是移项得到结论

11小时前

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