如果孤独 2星
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反函数的求导法则是:反函数的导数是原函数导数的倒数。
例题:求y=arcsinx的导函数。
首先,函数y=arcsinx的反函数为x=siny,所以:y‘=1/sin’y=1/cosy因为x=siny,所以cosy=√1-x2所以y‘=1/√1-x2。同理可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时,先将反函数求出来,只是这里的反函数是以x为因变量,y为自变量,这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。
求反函数的方法只有1种。那就是反解方程,对换xy位置,求定义域。
求反函数的步骤:
1、利用反解方程,将x看成未知数,y看成已知数,解出x的值。
2、将这个式子中的x,y兑换位置,就得到反函数的解析式。
3、求反函数的定义域。
反函数也是函数,一个函数与它的反函数互为反函数,并且它们的定义域、值域互换,对应法则互逆。一个函数与它的反函数可以是两个不同的函数,也可以是同一个函数。
反函数定义:
一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为y=f-1(x)。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
如何反函数求导
一、判断反函数是否存在:
由反函数存在定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同:
1、先判读这个函数是否为单调函数,若非单调函数,则其反函数不存在。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点 x₁ 和 x₂ ,当 x₁y₂,则称 y=f(x) 在D上严格单调递减。
2、再判断该函数与它的反函数在相应区间上单调性是否一致;
满足以上条件即反函数存在。
二、具体求法:
例如 求 y=x^2 的反函数。
x=±根号y,则 f(x) 的反函数是正负根号 x,求完后注意定义域和值域,反函数的定义域就是原函数的值域,反函数的值域就是原函数的定义域。
扩展资料:
反函数存在定理
定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性,对D中任一x'x,都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2,设y1
若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1
因此x1
如果f在D上严格单减,证明类似。
反函数的求解方法
求反函数的一般步骤如下:
1、从原函数式子中解出x用y表示。
2、对换x,y。
3、标明反函数的定义域。
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f﹣(x) 。反函数y=f ﹣(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f(y)或者y=f﹣¹(x)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标"−1"指的并不是幂。
反函数存在定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。
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