总结函数求极限的类型及方法并针对每个类型举例

一、求函数极限的方法 1、利用极限的四则运算性质

x 2+3x +5

例：求 lim

x →2x +4

x 2+3x +522+3⋅2+55

= 解: lim =

x →22+42x +4

2、约去零因式（适用于x →x 0时, 型）

x 3-x 2-16x -20

例: 求lim 3

x →-2x +7x 2+16x +12

(x

解:原式=lim

x

x →-2

3

-3x 2-10x +(2x 2-6x -20)

322

+5x +6x +(2x +10x +12)

)

(x -5)(x +2) (x +2)(x 2-3x -10) (x 2-3x -10)

lim =lim == lim

x →-2(x +2)(x +3) x →-2(x +2)(x 2+5x +6) x →-2(x 2+5x +6)

=lim

3、通分法（适用于∞-∞型） 例:求 lim (

x →2x →-2

x -5

=-7 x +3

41

-)

4-x 22-x

解:原式=lim

114-(2+x ) (2-x )

= =lim =lim

x →22+x x →2(2+x ) ⋅(2-x ) x →2(2+x )(2-x ) 4

4、等价无穷小代换法

1-cos x 2

例:求极限lim 2

x →0x sin x 2

(x 2) 2

(x 2) 21-cos x 2222=1 lim 2 解: sin x ~x , 1-cos x ~ ∴ =

x →0x sin x 22x 2x 22

注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，

不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”

1

5、利用两个重要的极限。

(A ) lim

sin x x →0x =1 (B ) lim x →∞(1+1

x

) x =e

经常使用的是它们的变形：

(A ' ) lim

sin ϕ(x )

ϕ(x )

=1, (ϕ(x ) →0)

(B ' ) lim(1+1

ϕ(x ) ) ϕ(x ) =e , (ϕ(x ) →∞)

例：求下列函数极限

(1) 、lim a x -1

ln cos ax x →0x

(2) 、lim x →0ln cos bx 解：（1）令a x

-1=u , 则 x =ln(1+u ) ln a 于是a x -1u ln a

x =

ln(1+u )

又当x →0时，u →0

故有：lim a x -1u x →0x =lim ln a u →0ln(1+u ) =lim ln a u →0ln(1+u ) =lim ln a

u →0

1=ln a u

ln(1+u ) u

(2) 、原式=lim

ln[(1+(cosax -1)]

ln[(1+(cosax -1)]cos bx -1x →0ln[1+(cosbx -1)]=lim x →0cos ax -1⋅

cos ax -1

cos bx -1

=lim cos bx -1x →0cos ax -1

sin 2a x

-2sin 2αx (a x ) 2(b

x ) 2

=lim =lim ⋅=b 2sin 2x sin 2x (2

x →0-2b x →0b a a

2

x ) 2

22(b 2

x ) 26、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 例：求下列函数的极限

e x (1) 、lim

cos x +5

x →01+x 2+ln(1-x )

2

7、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：

lim

x →1

x -1x -1

n m

l k

=

m l

m、n 、k 、l 为正整数。 nk

例：求下列函数极限 ① lim

x →1

1-x 1-m x

(m 、n ∈N ) ②lim (

x →∞

2x +3x +1

) 2x +1

解: ①令 t=x 则当x →1 时 t →1, 于是

1-t m (1-t )(1+t +t 2+ +t m -1) m

原式=lim =lim = 2n -1t →11-t n t →1(1-t )(1+t +t + +t ) n

2x +3x +12x +1

) =lim (1+)

x →∞2x +1x →∞2x +12x +1111

= 则 x +1=+ 令：2t t 2

②由于lim (

+2x +3x +12x +1

t 2

) =lim (1+) =lim (1+t ) =lim (1+t ) t ⋅lim (1+t ) 2=e ⋅1=e ∴lim (

x →∞2x +1x →∞t →0t →0t →02x +1

11

1

1

8、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形) 。

⎧1-2e -x , x ≤0

⎪

⎪x -x

例：设f (x ) =⎨, 0

x →0x →1

x ⎪

⎪x 2, x ≥1⎩解： lim f (x ) =lim (1-2e -x ) =-1--

x →0

x →0

x →0+

lim f (x ) =lim (+

x →0

x →0

x -x x

) =lim (x -1) =-1+

x →0

x →0

f (x ) =lim f (x ) =-1 ∴lim f (x ) =-1 由lim -+

x →0

又 lim f (x ) =lim --

x →1

x →12

x -x x

=lim x -1) =0-

x →1

lim f (x ) =lim x =1 x →1+x →1+

由f (1-0) ≠f (1+0) ∴lim f (x ) 不存在

x →1

3

9、洛必达法则（适用于未定式极限）

注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点： （1） 要注意条件，也就是说，在没有化为

0∞

, 时不可求导。 0∞

（2） 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 （3） 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未

定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。

f ' (x )

（4）当lim 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方

x →a g ' (x )

法。 例： 求下列函数的极限

e x -(1+①lim 2x ) x →0ln(1+x 2)

②x lim

ln x

→+∞x a

(a >0, x >0)

解：①令f(x)= e x

-(1+2x )

, g(x)= ln(1+x 2)

f ' (x ) =e x -(1+2x )

-, g '

(x ) =

2x

1+x

2

f "

(x ) =e x

+(1+2x )

-, g "

(x ) =

2(1-x 2)

(1+x 2) 2

由于f (0) =f ' (0) =0, g (0) =g ' (0) =0 但f " (0) =2, g " (0) =2 从而运用洛必达法则两次后得到

--lim e x -(1+2x ) x →0ln(1+x 2)

=lim e x -(1+2x )

x →02x

=lim e x +(1+2x ) x →02(1-x 2)

=

2

2

=11+x 2

(1+x 2) 2

② 由lim ln x =∞, lim x a

x →+∞

=∞

x →+∞

∞ 故此例属于

∞

型，由洛必达法则有： 1

x lim ln x →+∞x =x lim x →+∞ax a -1=x lim 1a →+∞ax a

=0(a >0, x >0) 10、求代数函数的极限方法 (1)有理式的情况

4

(2x -3) 20(3x +2) 30

例：求下列函数的极限lim x +1) 50

x →∞(2 解: 分子，分母的最高次方相同，故

lim (2x -3) 20(3x +2) 30220⋅330

330x →∞(2x +1)

50=250=(2) (2)无理式的情况。 例：求x lim →+∞

(x +

x +x -x ) 解: x lim →+∞

(x +

x +x -x )

=x lim

初级阶段：四则运算法，连续函数用代入法，分子分母同除最高次项法，分离非零定式因式法，分子有理化法，分子分母约去致零因式法。晋级阶段：等价无穷小替换因式法，不定式的罗比达法则,幂指函数配底或取对数。高级阶段：泰勒公式展开法，收敛级数通项趋于0，构造定积分法，应用积分和微分中值定理法。

求极限的几种类型与方法

求极限的方法

(1)分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

(2)无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；

(3)运用两个特别极限；

(4)运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小。比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

(5)用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍译为Taylor(泰勒)展开。

(6)等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。

(7)夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。

(8)特殊情况下，化为积分计算。