对称矩阵的逆矩阵是什么

对称矩阵的逆矩阵不一定是它本身。对称矩阵是指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵。一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA，则称B是A的一个逆矩阵。对称矩阵不一定是方阵，所以对称矩阵的逆矩阵不一定是本身。矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

A的逆矩阵是对称矩阵。因为A是对称矩阵 ，其转置矩阵和自身相等，则 A^T=A；那么 (A^-1)^T = (A^T)^-1 = A^-1，所以A的逆矩阵是对称矩阵。证明过程如下：

1、对称矩阵性质：

（1）对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

（2）A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

（3）对角矩阵都是对称矩阵。

（4）两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

（5）任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：

（6）每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

（7）若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。

（8）一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。

（9）如果A是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵。

（10）n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

2、逆矩阵性质：

（1）可逆矩阵一定是方阵。

（2）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

（3）A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A^-1）^-1=A。

（4）可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（A^T）^-1=（A^-1）^T (转置的逆等于逆的转置）

（5）若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

（6）两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

（7）矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵

对称矩阵的逆矩阵仍然是对称矩阵。这是因为

若 A^T=A则 (A^-1)^T = (A^T)^-1 = A^-1所以 A^-1 是对称矩阵.