零点定理是啥

零点定理是微积分学中的一个重要定理，通常用于求函数的极值。若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。

换言之，零点定理表明，如果一个函数在某段区间上连续，且在该区间内有两个相等的函数值，那么在这两个函数值之间一定至少有一点使得函数的导数为零。

这个定理的重要性在于，它提供了一种寻找函数极值的方法，即通过求解函数导数的零点来获得。这个定理同时又是一些其他定理的基础，如拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

零点定理”是函数的一个定理，还有同名电影。我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理。

【函数】

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。

证明:不妨设f(a)<0,f(b)>0.令

E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.

由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，

存在ξ=supE∈[a,b].

下证f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).).事实上，

(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知

存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

这与supE为E的上界矛盾;

(ii)若f(ξ)>0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知

存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,

这又与supE为E的最小上界矛盾。

综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。