什么叫可导导函数

侽紸桷 1个月前已收到1个回答举报

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大学数学不是只有搞题海战术、背套路；而是认真读课本，读懂定义，学会基本逻辑推理，遇到题目自然地去思考怎么求解。下面演示怎么用

定义+基本逻辑推理

解题：

函数可导

的定义：函数在每一点处都可导。

函数在

一点处可导

的定义：若函数在点处的变化率的极限

存在，则称在点可导，其导数即为该极限值，即

做题时，对于具体函数，当然一般不是每一点都拿来验证一下可导性。因为有课本上的一些结论可以用，比如，课本上用定义求了基本初等函数的导数（基本初等函数在其定义域内

基本

都是可导的），又给出了求导运算法则（基本初等函数经过四则运算、复合得到的初等函数，在其定义域内也

基本

都是可导的）。

注：

基本的意思是，在定义域内绝大多数正常点处都是可导的，不可导点往往是比较特殊的点，比如，分段函数的分段点、按求导运算算完的一阶导函数无定义的点。

以绝对值函数为例，

改写一下：

可见，在上可导的（幂函数、定义域内），所以，只考虑分段点处的可导性就行了，根据定义，先考察极限

该极限是否存在呢？极限存在的一个充要条件是，左右极限都存在且相等，考察一下：

左右极限不相等，故该极限不存在，从而在点不可导。

综上，

另一种思路，这样改写函数： , 先按求导法则求导看看：

分母出现 , 所以表达式无意义，故是一阶导函数不存在的点，即在点不可导；

若 , 化简上式得 ;

若 , 化简上式得

结果是一样的。

说明

：以上两种变形思路，为什么这么变？是往能用上课本中定义或结论的方向变形，这里的思考方向是：去掉绝对值（方法一）、变成初等函数（方法二）。

补充说明

：评论中有人对我的第二种解法有疑义，补充一点，第二种解法适合

能写成一个表达式的初等函数，考察其定义域内，的可导情况

。函数有定义的点，按求导法则算完，可能会变成不可导点。再比如， .

13小时前

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