赞 梦瞬间崩溃 3星
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闭区间套定理：设闭区间{[an，bn]}满足：[an，bn]?[an+1，bn+1]（n∈N+），limn→∞(bn?an)＝0，则存在唯一的ξ，使ξ∈[an，bn]（n∈N+）且limn→∞an＝limn→∞bn＝ξ．设f是[a，b]上的连续函数，下面用反证法证明f在[a，b]有界．反设f在[a，b]无界，二等分区间[a，b]，则存在一子区间[a1，b1]，使f在[a1，b1]无界，再二等分[a1，b1]，则同样可以得到一个子区间[a2，b2]，使f在[a2，b2]上无界，如此无限下去得到一闭区间套{[an，bn]}，f在任意[an，bn]无界．显然，bn?an＝b?a2n→0(n→∞)，由闭区间套定理可以推知ξ∈[an，bn]（n∈N+）．由f在ξ的连续性知：存在δ＞0，使f在[a，b]∩[U（ξ，δ）]有界，而n充分大时，[an，bn]?U（ξ，δ），这与f在[an，bn]上无界矛盾．
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