参数方程的二阶导数怎么求

x=g(t)

y=h(t)

则一阶导数：dy/dx=h'(t)/g'(t)

二阶导数：d²y/dx²=d[h'(t)/g'(t)]/dx 函数中只有变量t，t看作中是变量

={d[h'(t)/g'(t)]/dt}*(dt/dx)

={d[h'(t)/g'(t)]/dt} / (dx/dt)

={d[h'(t)/g'(t)]/dt} / g'(t)

用语言描述就是：d²y/dx²就是用一阶导数的结果对t求导，然后除以g'(t)。

求y对x的二阶导数仍然可以看作是参数方程确定的函数的求导方法，因变量由y换作dy/dx，自变量还是x，所以

y对x的二阶导数 ＝ dy/dx对t的导数 ÷ x对t的导数

dy/dt＝1/(1+t^2)

dx/dt＝1－2t/(1+t^2)＝(1+t^2-2t)/(1+t^2)

所以，dy/dx＝1/(1+t^2-2t)

d(dy/dx)/dt＝[1/(1+t^2-2t)]'＝－(2t-2)/(1+t^2-2t))^2

所以，

d2y/dx2＝d(dy/dx)/dt ÷ dx/dt

＝-(2t-2)/(1+t^2-2t))^2 ÷ (1+t^2-2t)/(1+t^2)

＝(2-2t)(1+t^2)/(1+t^2-2t)^3

参数方程二次求导：

1、由参数方程确定的函数的高阶导数的求法与一阶导数的求法是一样的，仍然看作是一个参数方程确定的函数的导数问题，参数方程是：dy/dx＝dy/dt÷dx/dtx＝x(t)。

把x看作变量，dy/dx看作因变量来求一阶导数，y'(x)=dy/dx，y'

1

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比如：已知x=log（1+t2），y=t-arctan（t），求d2y/dx2（求y关于x的二阶导数）。

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先计算y关于x的一阶导数，用Mathematica套公式。

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化简一下上式，二阶导数，其实就是求y的一阶导数关于x的导数。

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在Mathematica里面套公式即可

步骤1/3

已知有x和y都是关于t的参数方程，求y对x的二阶导数

步骤2/3

我们先来求一阶导数：

dy/dx=dy/dt *dt/dx= dy/dt / dx/dt, 所以y对x的一阶导数就等于y对t的一阶导数除以x对t的一阶导数

说明：因为，y和x都是关于t的参数方程，所以求dy/dx时，需要中间增加了dt作为桥梁，使得y和x对t求导。

步骤3/3

再来求二阶导数：把对x求导转化为对t求导

二阶求导就是把上个步骤我们求出来的一阶导数再次求导，但要记住是对x参数求导，而一阶导数实际上仍然是关于t的方程。所以需要和求一阶导数过程一样的，再次增加dt为桥梁，就变成了一阶导数对t求导再除以x对t求导。如图看过程，主要是红框中增加dt为桥梁的转换，后面就是正常的求导了。

dx、dy表示微分，当然可以拆开，对于参数方程，x=f(t)，y=g(t)，对于参数方程，先求微分：dx=f'(t)dt，dy=g'(t)dt，dy/dx=g'(t)/f'(t)，而如果先消去参数，t=fˉ¹(x)，y=g(fˉ¹(x)

)dy/dx=g'(fˉ¹(x))*fˉ¹'(x)=g'(fˉ¹(x))/f'(t)=g'(t)/f'(t)，是一样的。而二阶导数，注意是d²y/dx²是什么意思呢？就是这里要把dy/dx看成是新的“y”，x还是等于f(t)，所以应该这样：d(dy/dx)=[g'(t)/f'(t)

]'dt=[g''(t)f'(t)-g'(t)f''(t)]/f'(t)² dtdx=f'(t)dtd²y/dx²=d(dy/dx)/dx=[g''(t)f'(t)-g'(t)f''(t)]/f'(t)³